街头闲逛，偶遇象棋残局（图1）。此局并非常见的江湖残局，旁观良久，不得其解，遂记在心中。回家后在电脑上用象棋软件计算，结果竟然发现各种棋软都没法解开这个残局。于是人工加电脑反复演练，才知道这个貌似平淡的残局没有和棋。一般都会走成某一方子力被围困，一动就输掉的棋形（图2）。
喜爱玩象棋的朋友都明白“先行之利”，尤其是残局，先走一步的优势就更明显了。有趣的是，这个残局的结果竟然是红先黑胜。换黑棋先走结果就是红胜。这是一个注定了谁先走谁输的象棋残局。通过改变炮的初始位置和对头兵的数量，我发现残局的胜负结果也会发生变化。反复研究后，一些似曾相识的规律在我的头脑中越来越清晰，没错！这些规律不但能给出残局正确的解法，也能够指引出决定局面胜负的最深奥义。因为我找到了描述这个棋局的数学原理。
首先必须建立数学模型，这个说容易也不容易。我先来讲一个简单的游戏。把石子摆成四排，第一排1颗、第二排3颗、第三排5颗、第四排7颗（图3）。规则是这样的，两人轮流来拿石子，每次可以在同一排中拿走任意颗，至少拿走1颗，谁拿到最后一颗石子，谁就赢了。例如：我先来拿，我可以一次拿走第四排的全部7颗；或者在第二排拿走2颗，留下1颗，这都是规则允许的。但是在第二排拿1颗并且在第三排也拿1颗，这种不在同一排内拿石子的方法是违反规则的。因为石子的数量是有限的，每次拿都会造成数量减少，两人轮流拿，最后一个石子总是会被拿走。拿走最后一个石子的就是胜者。也就是说这个游戏一定能分出胜负，不会出现平局。
下面来说一下这个游戏的求胜方法。首先把每一排的石子数量的十进制数转化成二进制数。我们会得到0001、0011、0101、0111。然后我们对这个数连续进行XOR运算（二进制逻辑异或运算），简单理解为不进位的二进制加法运算。即0001XOR 0011=0010，0010 XOR 0101=0111，0111 XOR 0111=0000。如果初始值为0000就注定谁先拿谁就要输了。
例如，你先拿了第4排的1颗石子。剩余石子对应的数值分别为，0001、0011、0100、0111，XOR运算的结果为0001；轮到我拿了，我就拿走第1排的1颗石子，此时剩余石子对应的数值为0011、0100、0111，XOR运算的结果为0000；这样依次类推下去，只要你拿完了，XOR运算的结果就不会是0000，我只要再拿掉一些石子，使结果恢复到0000即可。当然，对于不同的局面，使XOR运算结果恢复到0000的方法是不同的，而且也可能同时存在多种恢复方法。反复使用这种过程，就可以保证我在最后一次拿光剩余的石子，也就是我赢了。数学证明略。如果你看懂了，再按照上述方法演示几次，就可以掌握这个游戏的取胜之道了。
言书归正传，让我们回头来再看前面的象棋残局。把棋盘上一路的兵之间可走的步数看作1，把五路炮之间可走的步数看作4，把九路炮之间可走的步数看作5。转化成对应的二进制为0001、0100、0101，XOR运算结果为0000。这下明白为啥这个象棋残局注定是谁先走谁输了吧！这就是数学的魅力。
当然，象棋的走法相比于石子游戏更复杂，规则也更多。但是只要抓住它们在逻辑上的共同点，也就可以把这两个看起来毫不相关的游戏当作同一个游戏来玩了。本文到此结束，因为已经“授人以渔”，所以我不会列出破解残局的棋谱，更无必要讲述此局中繁杂的变化。
